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Analíti a
k
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Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
Analítika, Revista de análisis estadístico, (2015), Vol. 10
Índice de pobreza multidimensional
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Otro caso extremo, y acorde con la perspectiva abordada, se da cuando
β
−→
+
∞
, por
tanto
σ
−→
0, que es el caso de perfecta inelasticidad, que implica que no existe elasticidad
posible entre variables, teniendo como resultado que
µ
M
β
(
X
;
ω
)
−→
max
I
m
(
x
m
)
4
Por otro lado, Decancq y Lugo (2013) utilizan la tasa marginal de sustituci´on (TMS), el
cual indica que entre variables transformadas se puede observar el impacto en la elecci´on de
los par´ametros que constituyen el ´ındice, un resultado a tomar en cuenta, dado que muchas
de las elecciones sobre los par´ametros pasan por alto dicho an´alisis. La TMS se define como:
TMS
i,j
=
∂µ
(
I
(
.
))
∂I
i
(
X
i
)
/
∂µ
(
I
(
.
))
∂I
j
(
X
j
)
para
i
=
j,
donde
i, j
∈
M
(3)
Aplicado sobre la ecuaci´on (1) se obtiene:
TMS
i,j
=
ω
i
ω
j
I
i
(
X
i
)
I
j
(
X
j
)
I
j
(
X
j
)
I
i
(
X
i
)
1
−
β
(4)
La ecuaci´on (4) se descompone en tres partes, el ratio de pesos, de las derivadas de funci´on
de transformaci´on y de funciones de potencia 1
−
β
. Seg´un la interpretaci´on de Decancq y
Lugo (2013), el primer componente indica que a mayor peso asignado a la dimensi´on
i
, m´as
de la dimensi´on
j
est´a dispuesta a sacrificar una persona para compensar la p´erdida de
i
. El
segundo componente indica que mientras m´as pronunciada sea la funci´on de transformaci´on
de
i
, mayor ser´a el monto necesario de
j
que se estar´a dispuesto a renunciar por compensar
una unidad adicional en
x
i
. Por ´ultimo, en el tercer componente, para
β <
1, a menor valor
inicial de
i
, mayor ser´a el valor de
j
para compensar la unidad extra en
i
, lo que tiene sentido
en tanto el valor de un bien se incrementa debido a su escasez.
Se puede encontrar como un caso com´un el uso del valor de
β
= 1, por ejemplo bajo la
metodolog´ıa anterior a 2010 del ´Indice de Desarrollo Humano o la metodolog´ıa de Alkire y
Foster (2011), que como resultado de uso del par´ametro beta igual a 1 la TMS depende ´uni-
camente del ratio de pesos y de derivadas transformadas, eliminando el criterio de escasez,
la funci´on de bienestar pierde su concavidad, as´ı las curvas de indiferencia entre dimensio-
nes se vuelven lineales por tanto el
trade-off
se asume constante en todos los niveles. Si
adem´as el ratio entre las derivadas de las funciones de transformaci´on es igual a uno, la TMS
depender´a ´unicamente del ratio entre pesos. Como se observa, cada uno de los par´ametros
previamente especificados, adem´as de dar la forma a la funci´on, modelan la realidad que
quiere medirse, como contraejemplo destaca Decancq y Lugo (2013) que en el Informe sobre
Desarrollo Humano (2005) se encuentra:
Para que el desarrollo humano progrese, es necesario avanzar en un frente amplio ya
que las p´erdidas en bienestar humano vinculadas a la esperanza de vida, por ejemplo,
4
Cabe especificar que al tratarse de males o privaciones el par´ametro utilizado construye una funci´on
m´aximo y no m´ınimo.
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