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Analítika, Revista de análisis estadístico, (2016), Vol. 11
Efecto de la rentabilidad, volatilidad, densidad de cotización y tipos de comisiones en la riqueza terminal
de una cuenta individual de capitalización
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de pensiones representativo de una Administradora de Fondos de Pensiones
(AFP) en el tiempo
t
∈
R
+
(meses) satisface la siguiente ecuaci´on diferencial
estoc´astica (EDE):
dV
(
t
) =
µV
(
t
)
dt
+
σV
(
t
)
dB
(
t
)
, V
(0) =
V
0
.
(1)
En esta ecuaci´on,
µ
es la tasa de crecimiento del valor cuota por unidad de
tiempo (meses),
σ
la volatilidad del retorno logar´ıtmico mensual del mismo,
V
0
es el valor cuota inicial, y el proceso estoc´astico
B
es un movimiento Brow-
niano est´andar unidimensional. La EDE en (1) es una especificaci´on com´un
para modelar el valor cuota, pues es muy utilizada en modelos de control
estoc´astico para fondos de pensiones
8
.
A continuaci´on, describiremos con detalle las comisiones por saldo y flujo
utilizando una estructura similar a la proporcionada en Shah (1997), Dia-
mond (2000), Blake y Board (2000), Whitehouse (2001), Devesa-Carpio
et
al.
(2003) y G´omez-Hern´andez y Stewart (2008).
2.1. Comisi´on por saldo
Sea
δ >
0 la comisi´on por saldo mensual expresada en tiempo continuo
9
.
Adem´as, en el mes
i
, el afiliado aporta una suma
W
i
>
0 a su fondo de
capitalizaci´on individual. Si el valor cuota,
V
, se normaliza a la unidad en
el periodo
i
, entonces el aporte
W
i
equivale al mismo n´umero de cuotas. Es
decir que, para
t
≥
i
, y bas´andonos en la EDE (1), el aporte realizado en
i
seguir´ıa el siguiente movimiento Browniano geom´etrico (GBM):
W
i
s
(
t
) =
W
i
e
(
µ
−
δ
−
σ
2
2
)(
t
−
i
)+
σ
(
B
(
t
)
−
B
(
i
))
,
i
≤
t
≤
T.
(2)
Al afiliado le interesa determinar el valor final de su fondo,
W
s
(
T
), el cual
es la suma de los valores finales de todos los aportes realizados seg´un la
secuencia
W
T
=
{
W
i
|
W
i
>
0
,
0
≤
i
≤
T
−
1
}
. Entonces,
W
s
(
T
) =
T
−
1
i
=0
W
i
s
(
T
)
,
(3)
8
Es un supuesto com´un en la literatura el asumir el movimiento Browniano geom´etrico
(GBM) como proceso para el valor cuota del fondo o para los precios de los activos que
conforman el fondo. Algunos ejemplos del uso del GBM son: Blake
et al.
(2001), Devolder
et al.
(2003), Vigna (2010), Haberman y Vigna (2002), Battocchio y Menoncin (2004),
Han y Hung (2012), y Cairns
et al.
(2006) entre otros. En el caso del estudio del SPP,
Moloche (2012) utiliza en su metodolog´ıa GBMs para modelar los activos de renta variable
nacional e internacional.
9
Un valor constante de
δ
podr´ıa implicar que el sistema ha alcanzado madurez con
respecto a esta forma de cobro.
4