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Luis Chavez-Bedoya
Analítika, Revista de análisis estadístico, (2016), Vol. 11
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donde los procesos
W
i
s
en (2) est´an sujetos a la misma fuente de incertidumbre
B
dada por (1). Adem´as, la esperanza,
E
[
W
s
(
T
)], del valor final del fondo es
E
[
W
s
(
T
)] =
T
−
1
i
=0
W
i
e
(
µ
−
δ
)(
T
−
i
)
=
e
(
µ
−
δ
)
T
T
−
1
i
=0
W
i
e
−
(
µ
−
δ
)
i
.
(4)
La siguiente proposici´on permite calcular expl´ıcitamente la varianza del fondo
final del afiliado bajo comisi´on por saldo.
Proposici´on 2.1
(Varianza de riqueza terminal)
.
La varianza de
W
s
(
T
)
en
(3) se puede calcular a trav´es de la siguiente expresi´on
Var(
W
s
(
T
)) =
T
−
1
i
=0
T
−
1
j
=0
W
i
W
j
e
(
µ
−
δ
)(
T
−
i
+
T
−
j
)
e
σ
2
(
T
−
m´ax
{
i,j
}
)
−
1
.
(5)
Demostraci´on:
Ver Ap´endice A.
2.2. Comisi´on por flujo
Sea
α >
0 la tasa de la comisi´on por flujo
10
. Si el afiliado realiza un
aporte
W
i
en el mes
i
, la comisi´on que pagar´ıa a la AFP (en el momento
del aporte) ser´ıa igual a
C
i
=
W
i
(1
−
e
−
α
). Considerando que la comisi´on
C
i
pudo ser invertida en el fondo, el aporte del afiliado ajustado por el costo de
oportunidad de
C
i
puede expresarse como
e
−
α
W
i
. A partir de este supuesto,
el aporte ajustado de la comisi´on por flujo en el mes
i
,
W
i
f
, evolucionar´ıa
seg´un el siguiente GBM:
W
i
f
(
t
) =
W
i
e
−
α
e
(
µ
−
σ
2
2
)(
t
−
i
)+
σ
(
B
(
t
)
−
B
(
i
))
,
i
≤
t
≤
T.
(6)
Para el afiliado, es importante calcular el monto del fondo final ajustado por
el costo de oportunidad de la comisi´on por flujo seg´un la secuencia de aportes
W
T
=
{
W
i
|
W
i
>
0
,
0
≤
i
≤
T
−
1
}
. Si denotamos dicho monto final como
W
f
(
T
), se tiene
W
f
(
T
) =
T
−
1
i
=0
W
i
f
(
T
)
.
(7)
Utilizando (4) y la Proposici´on 2.1, se demuestra f´acilmente que la espe-
ranza y la varianza de
W
f
(
T
) se pueden calcular a trav´es de las siguientes
10
Tambi´en se le conoce como comisi´on por sueldo, y puede ser cobrada como un por-
centaje del salario o la contribuci´on del afiliado.
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