Versión de HTML Básico
Luis Chavez-Bedoya
Analítika, Revista de análisis estadístico, (2016), Vol. 11
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flujo) cuando las interrupciones se modelan a trav´es del proceso estoc´astico
Z
.
Calculando los valores esperados de
W
s
(
T
) y
W
f
(
T
) tenemos
E
[
W
s
(
T
)] =
T
−
1
i
=0
E
[
Z
i
W
i
s
(
T
)] =
e
(
µ
−
δ
)
T
T
−
1
i
=0
p
i
W
i
e
−
(
µ
−
δ
)
i
,
(12)
E
[
W
f
(
T
)] =
T
−
1
i
=0
E
[
Z
i
W
i
f
(
T
)] =
e
−
α
+
µT
T
−
1
i
=0
p
i
W
i
e
−
µi
.
(13)
Para obtener (12) y (13), se ha utilizado la independencia de
Z
i
con respecto
a
W
i
s
(
T
) y
W
i
f
(
T
). Las varianzas de
W
s
(
T
) y
W
f
(
T
) pueden ser determinadas
utilizando la siguiente proposici´on:
Proposici´on 2.2
(Varianza de riqueza terminal con interrupci´on)
.
Bajo el
proceso de interrupci´on
Z
, las varianzas de
W
s
(
T
)
y
W
f
(
T
)
en (10) y (11)
son:
Var(
W
s
(
T
)) =
T
−
1
i
=0
T
−
1
j
=0
p
i
p
j
W
i
W
j
e
(
µ
−
δ
)(
T
−
i
+
T
−
j
)
e
σ
2
(
T
−
m´ax
{
i,j
}
)
−
1
+
T
−
1
i
=0
p
i
(1
−
p
i
)
W
2
i
e
(2(
µ
−
δ
)+
σ
2
)(
T
−
i
)
,
(14)
Var(
W
f
(
T
)) =
T
−
1
i
=0
T
−
1
j
=0
p
i
p
j
W
i
W
j
e
−
2
α
+
µ
(
T
−
i
+
T
−
j
)
e
σ
2
(
T
−
m´ax
{
i,j
}
)
−
1
+
T
−
1
i
=0
p
i
(1
−
p
i
)
W
2
i
e
−
2
α
+(2
µ
+
σ
2
)(
T
−
i
)
.
(15)
Demostraci´on:
Ver Ap´endice B.
Si se asume
p
i
=
p
con
p
∈
(0
,
1] para todo 0
≤
i
≤
T
−
1, el afiliado tiene la
misma probabilidad de contribuir en cada periodo (mes). En consecuencia,
la probabilidad
p
se puede interpretar como la densidad de cotizaci´on del
afiliado. En la siguiente proposici´on, analizamos el efecto de la densidad de
cotizaci´on,
p
, sobre la varianza de la riqueza terminal ajustada.
Proposici´on 2.3
(Impacto de
p
en la varianza del fondo final)
.
En el proceso
de interrupci´on
Z
se asume
p
i
=
p
tal que
p
∈
(0
,
1)
, y se consideran a
Var(
W
s
(
T
))
en (14) y
Var(
W
f
(
T
))
en (15) como funciones de
p
. Si
σ
2
>
ln(2
p
)
, entonces
∂
p
Var(
W
s
(
p, T
))
>
0
y
∂
p
Var(
W
f
(
p, T
))
>
0
.
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