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Analítika, Revista de análisis estadístico, (2016), Vol. 11
Efecto de la rentabilidad, volatilidad, densidad de cotización y tipos de comisiones en la riqueza terminal
de una cuenta individual de capitalización
51
Demostraci´on:
Ver Ap´endice C.
A partir de la Proposici´on 2.3 notamos que, si
p
≤
1
2
, entonces siempre las
varianzas de la riqueza terminal ajustada van a ser funciones crecientes en
p
. Si
p >
1
2
, no es posible garantizar que la relaci´on anterior se cumpla en
todo escenario, y es por ello que se necesita la condici´on adicional
σ
2
>
ln(2
p
). Sin embargo, esta ´ultima es muy restrictiva (ver demostraci´on), pues
podr´ıan existir condiciones menos estrictas que produjeran el mismo efecto
de monotonicidad. Por ejemplo, en el caso de la comisi´on por saldo, bastar´ıa
verificar si
T
−
1
i
=1
φ
i,T
(
e
σ
2
(
T
−
i
)
−
2
p
)
>
0, donde los pesos de la suma ponderada
son
φ
i,T
=
W
2
i
e
2(
µ
−
δ
)(
T
−
i
)
.
2.4. Relaciones recursivas
En esta secci´on, proporcionamos expresiones recursivas para calcular las
esperanzas y varianzas de las riquezas terminales ajustadas
W
s
(
T
) y
W
f
(
T
)
definidas en (10) y (11).
Proposici´on 2.4
(Recursiones para comisi´on por saldo)
.
Si
W
s
(
T
)
se define
como en (10), entonces para
T
≥
2
se cumple
E
[
W
s
(
T
)] =
e
(
µ
−
δ
)
(
E
[
W
s
(
T
−
1)] +
p
T
−
1
W
T
−
1
)
,
(16)
Var(
W
s
(
T
)) =
e
2(
µ
−
δ
)+
σ
2
Var(
W
s
(
T
−
1)) +
p
T
−
1
(1
−
p
T
−
1
)
W
2
T
−
1
+(
e
σ
2
−
1)
E
[
W
s
(
T
)]
2
,
(17)
donde
E
[
W
s
(1)] =
p
0
W
0
e
µ
−
δ
,
(18)
Var(
W
s
(1)) =
p
2
0
W
2
0
e
2(
µ
−
δ
)
(
e
σ
2
−
1) +
p
0
(1
−
p
0
)
W
2
0
e
2(
µ
−
δ
)+
σ
2
.
(19)
Demostraci´on:
Ver Ap´endice D.
Proposici´on 2.5
(Recursiones para comisi´on por flujo)
.
Si
W
f
(
T
)
se define
como en (11), entonces para
T
≥
2
se cumple
E
[
W
f
(
T
)] =
e
µ
(
E
[
W
f
(
T
−
1)] +
p
T
−
1
e
−
α
W
T
−
1
)
,
(20)
Var(
W
f
(
T
)) =
e
2
µ
+
σ
2
Var(
W
f
(
T
−
1)) +
p
T
−
1
(1
−
p
T
−
1
)(
e
−
α
W
T
−
1
)
2
+(
e
σ
2
−
1)
E
[
W
f
(
T
)]
2
,
(21)
8