Versión de HTML Básico
Luis Chavez-Bedoya
Analítika, Revista de análisis estadístico, (2016), Vol. 11
52
donde
E
[
W
f
(1)] =
p
0
e
−
α
W
0
e
µ
,
(22)
Var(
W
f
(1)) =
p
2
0
(
e
−
α
W
0
)
2
e
+2
µ
(
e
σ
2
−
1) +
p
0
(1
−
p
0
)(
e
−
α
W
0
)
2
e
2
µ
+
σ
2
.
(23)
Demostraci´on:
Se verifican los resultados al hacer
δ
= 0 y considerar apor-
tes
e
−
α
W
i
en las expresiones de la Proposici´on 2.4.
Los resultados anteriores nos brindan una forma eficiente de calcular las
esperanzas y varianzas de riqueza terminal ajustada. Asimismo, en el caso
que la tasa
µ
y la volatilidad
σ
del GBM del valor cuota cambiaran mes a
mes, i.e.,
µ
i
y
σ
i
para 0
≤
i
≤
T
−
1, los resultados de las Proposiciones 2.4 y
2.5 siguir´ıan siendo v´alidos, siempre y cuando se reemplacen
µ
y
σ
por
µ
T
−
1
y
σ
T
−
1
. En el caso de comisiones variables en el tiempo, i.e.,
δ
i
y
α
i
para
0
≤
i
≤
T
−
1, los resultados previos se pueden ajustar a esta nueva situaci´on
al reemplazar
δ
y
α
por
δ
T
−
1
y
α
T
−
1
, respectivamente.
2.5. Ausencia de comisiones de administraci´on
Denotamos como
W
(
T
) al valor del fondo final del afiliado en asusencia
de comisiones pero bajo el proceso de interrupci´on
Z
, i.e.,
δ
= 0 o
α
= 0 en
las expresiones (10) y (11), respectivamente. Con lo cual se tiene
W
(
T
) =
T
−
1
i
=0
Z
i
W
i
(
T
)
,
(24)
donde
W
i
(
t
) =
W
i
e
(
µ
−
σ
2
2
)(
t
−
i
)+
σ
(
B
(
t
)
−
B
(
i
))
,
i
≤
t
≤
T.
(25)
Utilizando (12) y la Proposici´on 2.2, la esperanza y varianza de
W
(
T
) se
pueden encontrar a trav´es de
E
[
W
(
T
)] =
T
−
1
i
=0
p
i
W
i
e
µ
(
T
−
i
)
,
(26)
Var(
W
(
T
)) =
T
−
1
i
=0
T
−
1
j
=0
p
i
p
j
W
i
W
j
e
µ
(
T
−
i
+
T
−
j
)
e
σ
2
(
T
−
m´ax
{
i,j
}
)
−
1
+
T
−
1
i
=0
p
i
(1
−
p
i
)
W
2
i
e
(2
µ
+
σ
2
)(
T
−
i
)
.
(27)
9