Página 94 - ANALITIK-11

Luis Chavez-Bedoya
Analítika, Revista de análisis estadístico, (2016), Vol. 11
90
Sin p´erdida de generalidad, se asume Wi = 1 para todo i, y utilizando las
expresiones (80) y (83), se tiene
Hs = E[ Ws (T )]
e(µ−δ)+σ2 +1
e(µ−δ)+σ2 −1
As (T ) − 2e(µ−δ)+σ 2
e(µ−δ)+σ2 −1 E[Ws(T )] − E [Ws(T )]2
, (87)
Hf = E[W (T )]
eµ+σ 2 +1
eµ+σ 2 −1
A(T ) − 2 eµ+σ 2
eµ+σ2 −1 E[W (T )] − E [W (T )]2
. (88)
Adicionalmente, el ratio de las inversas de los coeficientes de variaci´on es
Hs
Hf
=
eµ+σ 2 +1
eµ+σ 2 −1
A(T )
E[ W (T )]2 − 2 eµ+σ 2
eµ+σ 2 −1
1
E[ W ( T )] − 1
e(µ−δ)+σ 2 +1
e(µ−δ)+σ 2 −1
As (T )
E[ Ws(T )]2 − 2 e(µ−δ)+σ 2
e(µ−δ)+σ 2 −1
1
E[W s(T )] − 1
. (89)
Como se asume µ > δ (pues r > 0), los l´ımites de E [Ws(T )], y de E[Ws (T )]
cuando T tienden al infinito son iguales a infinito; adem´as,
l´ım
T →∞
A (T )
E [W (T )]2 = l´ım
T →∞
eσ2 (eµ − 1)2
(e2µ +σ 2 − 1)
(e(2µ +σ2) T − 1)
(eµT − 1)2 = ∞ , (90)
l´ım
T →∞
As(T )
E [Ws(T )]2 = l´ım
T →∞
eσ2 (eµ −δ − 1)2
(e2(µ−δ)+σ 2 − 1)
(e(2( µ−δ)+σ 2)T − 1)
(e(µ −δ )T − 1)2 = ∞.(91)
Entonces, el l´ımite de (89) cuando T tiende a infinito viene dado por
l´ım
T →∞
Hs
Hf
= l´ım
T →∞
( eµ+σ 2 +1)
( eµ+σ 2 −1)
A(T )
E[W (T )]2
(e (µ−δ)+σ2 +1)
(e (µ−δ)+σ2 −1)
As( T )
E[W s(T )]2
. (92)
Luego, a partir de (92), y utilizando (90) y (91), se tiene
l´ım
T →∞
Hs
Hf
=
eµ − 1
eµ−δ − 1
(eµ −δ+σ2 − 1)(e2(µ−δ)+ σ2 − 1)(eµ +σ2 + 1)
(eµ +σ2 − 1)(e2 µ+σ2 − 1)(eµ −δ +σ2 + 1) × F,(93)
F = l´ım
T →∞
(e(2µ+σ2 )T − 1)(e(µ−δ) T − 1)2
(e(2(µ −δ)+σ2 )T − 1)(eµT − 1)2 = 1. (94)
Con lo cual,
l´ım
T →∞
Hs
Hf
=
eµ − 1
eµ−δ − 1
(eµ −δ+σ2 − 1)(e2(µ−δ)+ σ2 − 1)(eµ +σ2 + 1)
(eµ +σ2 − 1)(e2 µ+σ2 − 1)(eµ −δ +σ2 + 1)
. (95)
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