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Redes sociales evolutivas: un ejercicio descriptivo y predictivo
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Analiti a, Revista de análisis estadístico, Vol. 15 (1), 2018
por valores propios
, pues en lugar de valorar a un v´ertice por sus vecinos directos, da a
cada v´ertice una valoraci´on proporcional a la suma de las valoraciones de sus vecinos. De la
siguiente manera:
Sea
x
i
la centralidad de un v´ertice
i
, para arrancar se hace
x
i
= 1 para todos los
i
=
1
, . . . , n
siendo
n
el n´umero de v´ertices. Luego se define,
x
i
=
j
A
ij
X
j
Siendo los
A
ij
elementos de la matriz de adyacencia y en esencia define la suma de las
centralidades de los vecinos. Esta idea puede ser escrita en notaci´on vectorial como:
x
=
Ax
As´ı una mejor aproximaci´on puede ser obtenida al repetir este c´alculo
t
veces de manera
que:
x
(
t
) =
A
t
x
(0)
siendo
x
(0) como una combinaci´on lineal apropiada de los vectores
V
i
propios de la matriz
A
, as´ı:
x
(0) =
t
c
i
V
i
Luego, notando
κ
i
a los valores propios de
A
y
κ
1
=
max
i
κ
i
se tiene:
x
(
t
) =
A
t
i
c
i
V
i
=
i
c
i
κ
t
i
V
i
=
κ
t
1
i
c
i
[
κ
i
κ
1
]
t
V
i
Aqu´ı, como cada elemento de
κ
i
κ
1
<
1 siempre que
i
= 1 se puede mostrar que
x
(
t
)
→
c
1
κ
t
1
V
1
que seg´un se detalla en Newman (2010) ser´a equivalente a decir que la centralidad
x
satisface:
Ax
=
κ
1
x
Cabe mencionar que la centralidad por valores propios es una de las medidas denomina-
das
de influencia
de los nodos; no obstante, se pueden mencionar tambi´en otras medidas que
se interpretan como la influencia como la centralidad de Hubbell, Katz, Taylor (Introduction
to social network methods). Es necesario tener en cuenta la condici´on necesaria y suficiente
para la existencia y unicidad de x es la que A corresponda a un grafo fuertemente conectado.
c)
Centralidad por Intermediaci´on