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Estimadores de áreas pequeñas: cálculo de proporciones poblacionales para el caso ecuatoriano
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Analiti a, Revista de análisis estadístico, Vol. 15 (1), 2018
2.1. Notaci´on y nociones de estimadores de ´areas pe-
que˜nas
Siguiendo a Rao (2015) y a Longford (2006), a continuaci´on se listan de
manera m´as formal las ideas de ´areas peque˜nas:
Se tiene una poblaci´on
P
conformada por
D
´areas peque˜nas y estas
forman una partici´on
P
d
,
d
= 1
, . . . , D
y la variable
Y
est´a definida
para todas las subpoblaciones (en adelante
distritos
para diferenciarlos
de los dominios auto representados en la estimaci´on directa) de
P
. El
objetivo es calcular el estad´ıstico
θ
d
de
Y
para cada distrito
d
Se asume que
θ
d
se puede calcular por una funci´on Θ que puede ser
usada para evaluar cualquier distrito de
P
,
θ
d
= Θ(
P
d
).
Una muestra
S
de
P
tiene una partici´on conforme con
P
d
en las sub-
poblaciones tal que
S
d
=
S
∩
P
d
. El estimador directo ˆ
θ
d
de
θ
d
depende
solamente de los valores de
Y
y del dise˜no muestral. Se asume que ˆ
θ
d
,
d
= 1
, . . . , D
se relacionan de modo que ˆ
θ
d
= ˆΘ(
S
d
). Un ejemplo de Θ
y ˆΘ es la media poblacional y la media muestral respectivamente.
Los tama˜nos de las poblaciones de los distritos se denotan por
N
d
y
n
d
correspondientemente (siendo
N
y
n
sus totales). Las fracciones
dentro de las subpoblaciones
f
d
=
n
d
N
d
no necesariamente son id´enticas.
Se asume que ˆΘ
d
es un estimador insesgado, entonces
v
d
=
var
( ˆ
θ
d
); se
asume que
v
d
es conocida.
Se define la media (1) y la varianza (2) para poblaciones finitas de un
conjunto (
θ
1
, . . . , θ
D
):
θ
=
1
D
(
θ
1
+
. . .
+
θ
D
)
(1)
σ
2
0
=
1
D
D
d
=1
(
θ
d
−
θ
)
2
(2)
Se denota con sub´ındices
S
de
D
a los resultados muestrales y por distritos
respectivamente,
v
d
=
var
S
( ˆ
θ
d
) y
σ
0
=
var
D
(
θ
d
). Se considera un conjunto
de estimadores ˆ
θ
(
h
)
d
para
θ
d
y su combinaci´on convexa:
˜
θ
d
=
H
h
=0
b
(
h
)
d
ˆ
θ
(
h
)
d
(3)
4