Versión de HTML Básico
David Puebla; Drichelmo Tamayo; Elizabeth Feijoó
130
Factores relacionados a la supervivencia empresarial evidencia para Ecuador
131
16
Analiti a, Revista de análisis estadístico, Vol. 16 (2), 2018
Analiti a, Revista de análisis estadístico, Vol. 16 (2), 2018
En el presente trabajo se empleó la técnica no paramétrica de Kaplan-Meier para comparar las
curvas de supervivencia entre distintos grupos de interés, y la regresión de Cox, técnica semi-
paramétrica, para realizar un análisis condicionado. Debido al potencial analítico de las
herramientas mencionadas, estas han sido empleadas en otros estudios de supervivencia
empresarial como los de Cao (2012), Dunne & Masenyetse (2015), Holmes, Hunt & Stone
(2010) y Lobos & Szewczyk (2012).
3.2.1.
Técnica no paramétrica: Kaplan-Meier
Las funciones de supervivencia y de riesgo son las características más estudiadas en los
análisis de duración. Ambos conceptos son contrapuestos, es decir, cuando se habla de una
probabilidad de supervivencia mayor, es equivalente a hablar de una tasa de riesgo menor.
Ambas funciones se definen de la siguiente manera:
•
Función de supervivencia
6
:
( )
(
)
S t
P T t
= >
•
Función de riesgo
7
:
0
(
|
)
( ) lim
t
P t T t
t T t
h t
t
Δ →
≤ < + Δ ≥
=
Δ
La estimación y el gráfico de la función de supervivencia se realizan mediante el método no
paramétrico de Kaplan-Meier, el cual consiste en calcular la probabilidad de supervivencia en
el tiempo de ocurrencia del evento
f
t
, aplicando la ley multiplicativa de probabilidades:
1
ˆ
ˆ
( ) ( ) (
|
)
f
f
f
f
S t
S t
P T t T t
−
=
∗ > ≥
Al efectuar un análisis de las funciones de supervivencia por grupos de interés, es posible
realizar un test de igualdad. El test Log-Rank, el cual se basa en una comparación de
frecuencias observadas y esperadas, tiene como hipótesis nula la igualdad de las curvas de
supervivencia entre grupos y sigue una distribución
2
1
G
χ
−
, donde
G
es la cantidad de grupos
8
.
6
La función de supervivencia reporta la probabilidad de sobrevivir más allá del tiempo
!
.
7
La función de riesgo muestra la tasa instantánea de falla en el tiempo
!
.
8
Existen pruebas alternativas al test Log-Rank, las cuales difieren en función del peso que se asigna a la
comparación de las curvas de supervivencia en distintos intervalos de tiempo. Ejemplos de estas pruebas son:
Wilcoxon, Tarone-Ware y Peto.
En el presente trabajo se empleó la técnica no paramétrica de Kaplan-Meier para comparar las
curvas de supervivencia entre distintos grupos de interés, y la regresión de Cox, técnica semi-
paramétrica, para realizar un análisis condicionado. Debido al potencial analítico de las
herramientas mencionadas, estas han sido empleadas en otros estudios de supervivencia
empresarial como los de Cao (2012), Dunne & Masenyetse (2015), Holmes, Hunt & Stone
(2010) y Lobos & Szewczyk (2012).
3.2.1.
Técnica no paramétrica: Kaplan-Meier
Las funciones de supervivencia y de riesgo son las características más estudiadas en los
análisis de duración. Ambos conceptos son contrapuestos, es decir, cuando se habla de una
probabilidad de supervivencia mayor, es equivalente a hablar de una tasa de riesgo menor.
Ambas funciones se definen de la siguiente manera:
•
Función de supervivencia
6
:
( )
(
)
S t
P T t
= >
•
Función de riesgo
7
:
0
(
|
)
( ) lim
t
P t T t
t T t
h t
t
Δ →
≤ < + Δ ≥
=
Δ
La estimación y el gráfico de la función de supervivencia se realizan mediante el método no
paramétrico de Kaplan-Meier, el cual consiste en calcular la probabilidad de supervivencia en
el tiempo de ocurrencia del evento
f
t
, aplicando la ley multiplicativa de probabilidades:
1
ˆ
ˆ
( ) ( ) (
|
)
f
f
f
f
S t
S t
P T t T t
−
=
∗ > ≥
Al efectuar un análisis de las funciones de supervivencia por grupos de interés, es posible
realizar un test de igualdad. El test Log-Rank, el cual se basa en una comparación de
frecuencias observadas y esperadas, tiene como hipótesis nula la igualdad de las curvas de
supervivencia entre grupos y sigue una distribución
2
1
G
χ
−
, donde
G
es la cantidad de grupos
8
.
6
La función de supervivencia reporta la probabilidad de sobrevivir más allá del tiempo
!
.
7
La función de riesgo muestra la tasa instantánea de falla en el tiempo
!
.
8
Existen pruebas alternativas al test Log-Rank, las cuales difieren en función del peso que se asigna a la
comparación de las curvas de supervivencia en distintos intervalos de tiempo. Ejemplos de estas pruebas son:
Wilcoxon, Tarone-Ware y Peto.
3.3.2. Técnica semiparamétrica: Modelo de Cox
Para estudiar la relación de las características de las firmas con su probabilidad de
supervivencia se utiliza el modelo de Cox (1972):
0
1
( , )
( ) exp(
)
p
k k
k
h t X h t
X
β
=
=
∑
Donde:
−
k
X
es el vector de características detalladas en la Tabla 1.
−
( , )
h t X
es la función de riesgo para una firma de características
X
en el tiempo
t
.
−
0
( )
h t
es la función de riesgo base, es decir la función de riesgo para un individuo con
0
X
=
.
−
1
exp(
)
p
k k
k
X
β
=
∑
es una función que depende de las
p
covariables, pero no del tiempo.
Los coeficientes estimados del modelo representan el efecto marginal de un cambio en una
unidad de la variable respectiva sobre la tasa de riesgo. Dado que el modelo se expresa en
función de la tasa de riesgo, los coeficientes mayores a 1 indican que un aumento en dicha
variable, implica un aumento en el riesgo de desaparecer; y un coeficiente menor a 1, que la
probabilidad de desaparecer desciende.
La particularidad del amplio uso del modelo de Cox es que no requiere especificar una forma
funcional para la función de riesgo base
0
( )
h t
. No obstante, para poder emplear el método se
debe cumplir el supuesto de riesgos proporcionales, el cual consiste en suponer la misma
forma de la función de riesgo entre distintos grupos de interés, pero que pueden distanciarse
proporcionalmente a lo largo del periodo estudiado.
La estimación del modelo se realiza mediante máxima verosimilitud, con la particularidad de
que la función a maximizar en el modelo de Cox es una función de verosimilitud parcial,
debido a que en cada tiempo de falla solo se considera la información de las observaciones
que fallan y se descarta aquella de las observaciones censuradas.